第17回 0で割るとどうなるか
意外と素朴な疑問であるが、0で割ることは数学では一応御法度である。
しかし、もしやってしまったらどうなるのか、という疑問が残る。
減法による考え方
例えば、15÷5=3を出すのには、5×3=15を使う。
(足し算は0から始まるので)これは5を3回[0に]足している。
ここで、15から5を三回引くと0になるので解は3である。
ならば、15÷0はどうか。
15から何回0を引いても0にはならない。従って∞
しかし、∞×0=0である。これは矛盾だ。
極限の世界では∞、ということである。
ただ、
0をかける ⇔ 無限で割る
0で割る ⇔ 無限をかける
に見えてしまうのもパラドックスだろうか?
ちなみに、0÷0は、
0=0xの解であり、この解を満たす数は全ての実数である。
結論:0で割るとパラドックスという底なし沼にはまって抜け出せなくなる
??????
いや…待てよ…
∞×0 = 0は正しいだろうか?
まず、無限大に発散していく数列 {1,2,3,4,…,n,…}
と、
0に収束していく数列 {1,1/2,1/3,1/4,…,1/n}
を掛け合わせると、
{1,1,1,1,1…}という1に収束する数列になる。
つまり、この場合は「∞×0 = 1」である。ただし、「∞×0」は「不定」であり、常に1になるわけではない。[任意の実数に収束したり、無限大に発散したりする場合もある]
ここで、割り算の基本性質に当てはめてみよう。
a÷b = c ⇔ bc = a
「1÷0」で考えると、1÷0 = x ⇔ 0x = 1
先ほどの結果により、x=∞[∞×0は不定なので、1になることもできる]
極限的には、
| 0をかける | ∞をかける | 0で割る | ∞で割る | |
| -∞ | 不定 | -∞ | -∞ | 不定 |
| -a | 0 | -∞ | -∞ | 0 |
| -1 | 0 | -∞ | -∞ | 0 |
| 0 | 0 | 不定 | 不定 | 0 |
| 1 | 0 | ∞ | ∞ | 0 |
| a | 0 | ∞ | ∞ | 0 |
| ∞ | 不定 | ∞ | ∞ | 不定 |
aは正の実数とする
表を見ても分かるように、[極限は]このような結果になる。こうすれば、0で割っても矛盾しない。[0をかけることと無限で割ることが一致]
補足:逆数
分数の割り算で、分子、分母を入れ替える理由を尋ねられて困惑する人が多い。これについては、
のように考えられる。
参考リンク