第31回 対偶徹底分析
2008年1月に、フジテレビで｢薔薇のない花屋｣というドラマが始まったが、｢花屋には薔薇がある｣というのは一般的なことであろう。
命題｢花屋には薔薇がある｣の対偶は｢薔薇がないならば花屋ではない｣である。
だから、｢薔薇のない花屋｣はタイトル自体、自己矛盾を起こしていることになる。
または、｢薔薇がないならば花屋ではない｣を偽と考えるならば、｢花屋には薔薇がある｣は偽であることになる。
今回は、対偶を考えて、いろいろなことの真偽を考える。赤色はことわざ。
・「彼は怒られないと勉強しない」
そのまま対偶を取ろうとすると、「彼は勉強すると怒られる」になる。これはおかしい。
対偶を考えるとき、時間の前後がある場合はそれも考えなければならない。
ここでは「怒られる」が先で、「勉強する」が後である。
正しい対偶は「彼が勉強しているならば、彼は怒られたことになる」
・「植物の葉は緑色である」
対偶は「緑色でないものは植物の葉ではない」
対偶は明らかに偽。したがって元の命題も偽である。(元の命題は紅葉を無視している、つまり反例は紅葉)
・「カラスは黒い」
かの有名な「ヘンペルのカラス」である。
しかし、「カラスは黒い」という命題自体偽である。(白いカラスもいる)
⇒対偶も偽
・「ライオンは肉食動物である」
対偶は「肉食動物でないならば、ライオンではない」
これは真である。
・「犬が西向きゃ尾は東」
対偶は、「犬の尾が東を向いていなければ、その犬は西を向いていない」
もし犬の尾が、犬が向いている方向の反対を向くなら、この命題が真であることは自明である。
しかし、実際には犬の向いている方向の反対を尾が向くとは限らないので、両方偽である。
・「愛多ければ憎しみ至る」
対偶は「憎しみに至らないならば、愛は多くない」
……微妙ですね。
・「英雄、色を好む」
対偶は、「色を好まないならば英雄ではない」
なお、このことわざで、女色を好むことを正当化することは間違いである。
たとえ「英雄は色を好む」が真であったとしても、「色を好むなら英雄である」も真であるとしてはならない。(逆は必ずしも真ならず)
色を好むからといって、必ず英雄であるとは限らないからである。(ベン図に書き表してみると良い)
･「金持ち喧嘩せず」
対偶は、「喧嘩をするなら金持ちではない」
ちなみに、これによって西川史子は金持ちではないと証明できる。
(喧嘩をするなら金持ちではない、西川史子は喧嘩をする、従って西川史子は金持ちではない)
・「虎穴に入らずんば虎子を得ず」
対偶は、「虎子を得たならば、虎穴に入ったことになる」
※時間の前後あり。ちなみに必要十分条件ではない。
逆は「虎子を得ていないならば、虎穴に入っていない」…偽
裏は「虎穴に入れば、虎子を得られる」…偽
反例は、虎穴に入ったからといって、必ず虎子が得られるとは限らないということ。
・「親に似ぬ子はなし」
対偶を取る前に、命題を変形する必要があります。
∃(子)¬(親に似る)子 ⇔ ∀(子)親に似る(子) なので、
この命題は、「子は親に似る」と同値。
ここで対偶を取ると、「親に似ていなければ、(その親の)子ではない」
必要十分条件になる例
・「己の欲せざるところは人に施す事なかれ」とその裏「己の欲するところは人に施せ」
・「東京は日本の首都である」は逆も成り立つ。つまり同値である。