ドラえもんのポケットの構造 (数学ネタ37)

第37回　ドラえもんのポケットの構造

序.次元の考え方

まず、4次元を知るためには、次元について知ることが必要だ。
ただ、｢4次元=時間｣と考えていてはいくらたっても前に進まない。
数学的･空間的な四次元空間を考える必要がある。

まず、次元とは何か、それをはっきりさせないまま話を進めるわけにはいかないので、
0次元から順に上っていこう。

■0次元

点のこと。方向自由度は0で、面積も0

■1次元

線状の世界。点(0次元)を動かしてできる。
方向自由度は1(原点からのx座標のみで位置が決定する)
長さが登場する。(m¹=メートル)
曲がっていても良い。

■2次元

面状の世界。線(1次元)を動かしてできる。
方向自由度は2(x,y座標で位置が決定する)
形が登場する。(m²=平方メートル)
直線を折りたたむことができる。1次元的に囲まれた物体は2次元方向に移動すれば脱出できる。
曲がっている場合は非ユークリッド平面になる。
マリオの世界など。

■3次元

空間。面(2次元)を動かしてできる。
方向自由度は3(x,y,z座標で位置が決定する)
管(穴の開いた物体)が登場する。(m³=立方メートル)
平面を折りたたむことができる。2次元的に囲まれた物体は3次元方向に移動すれば脱出できる。
曲がっている場合は非ユークリッド空間になる。
この世界は3次元空間である。3次元に住む生物は、2次元の目を通して物体を見る。

■4次元

超空間。立体や空間(3次元)を動かしてできる。
方向自由度は4(x,y,z,u座標で位置が決定する)
?が登場する。(m⁴=?メートル)
立体や空間を折りたたむことができる。3次元的に囲まれた物体は4次元方向に移動すれば脱出できる。
つまり、4次元空間では、箱の中身をふたを開けずに取り出すことが可能である。
4次元に住む生物は、3次元の目を通して物体を見る。つまり、箱の中身を透視することも可能。

■n次元 (上の性質を一般化)

n次元空間。｢n-1次元の図形｣を動かしてできる。
方向自由度はn(x,y,z,u,…座標で位置が決定する)
n-1次元の図形を折りたたむことができる。
n次元に住む生物は、n-1次元の目を通して物体を見る。

※注意すべきなのは、｢4次元空間｣と｢4次元時空｣は違うことである。
時空(時空間)というのは空間と時間を合わせた物であり、4次元時空とは｢3次元空間+時間｣である。
ここで触れているのは｢4次元空間｣なので、時間とを合わせると｢5次元時空｣である。

1.ドラえもんの｢四次元ポケット｣はいったいどんな構造なのか

簡単に言うと、「(x,y,z,u)の4つの座標で一点が定まる空間」

つまり、我々の住むx,y,zの三次元空間にもう一つ別成分が加わったものだ。

二次元空間にある物体は面積を持つが、それの三次元空間での体積は0cm³である。
同じように考えると、三次元のいかなる物体も四次元空間では0cm⁴である。
だから4次元空間にはいくらでも物体が収納できる。

実際、ポケットの4次元容積はかなり小さいと思われる。

2.なぜ体積が変化するのか

まず低い次元から話を進めよう。

紙(2次元)は折り曲げておくことができるが、その操作は3次元空間でないとできない。

同じように、3次元の物体は4次元の方向に折りたたむことができる。
3次元空間に持ち込んだ瞬間、折りたたみが解除されて元の大きさに戻る。

4次元空間に持ち込まれた物体は、我々の住む3次元空間とは離れているような物である。
だから、質量は我々の住む3次元空間には干渉してこない。

結論

4次元ポケットは本当に4次元である。
体積や質量の問題は4次元空間における折りたたみによって解決した。

※四次元ポケット以外の四次元道具の場合

■四次元エレベーター

三次元空間において上下に移動しているだけなので、四次元とは言い難い。

■四次元くずかご

こちらは真の意味での四次元。

■四次元若葉マーク

これも意味が異なる。

■壁紙ハウスなど壁紙施設の部類

こちらは四次元空間内にx,y,z座標からx,y,uに移り変われる場所を作ったと考えられる。

コラム:四次元を通した抜けだし

4次元空間では箱の中身をふたを開けずに取り出すことが可能だと述べた。したがって、家の鍵をなくしても中に入ることができるのだ。

しかし、これは4次元時空を自由に移動できる場合も同様のことができる。
4次元時空を自由に移動できるものとは、タイムマシンである。
タイムマシンで鍵をなくす前(過去)に行き、そこにあったカギを現代に持ってくる。すると家に入れる。

あれ、待てよ? 鍵がなくなった原因は｢自分が過去に行って鍵を取ってきたから｣だったのだ。