第42回　「3の倍数と3のつく数字」と整数の個数は同じ

「3の倍数と3のつく数字」は、世界のナベアツがアホになることで有名だが、実は「3の倍数と3のつく数字」と「整数」の個数は同じなのである。

「3の倍数と3のつく数字」と何度も書くのは面倒なので、本稿では「3の倍数と3のつく数字」をNAとかく。

NAを小さい順に並べると、

3,6,9,12,13,15,18,21,23,24,27,30,31…

これには、順番をつけることができる。
1番目のNAは3,2番目は6,…5番目は13,……

順番をつけると、下の表のように数が対応する。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
3 6 9 12 13 15 18 21 23 24 27 30 31 32 33 …

このように順番をつけて整数と一対一対応が取れるものを可算無限集合という。

他に、整数、偶数、奇数、3の倍数、素数、有理数、平方数などが代表的な可算無限集合である。

ちなみに

ナベアツが 1〜10n (nは1以上の整数) まで数えるときにアホになる回数は、
となる。[ナベアツ方程式]

また、ナベアツがアホになる割合は、数える数字が大きくなるほど増加していく。
1から1010まで数えると全体の76.8％でアホになる。また、1020まで数えると91.9％アホになる。
この割合は n → ∞ のとき 100％に収束する。

10n 割合(％)
1 30
2 45
3 51.3
4 56.25
5 60.633
6 64.5705
7 68.11353
8 71.302185
9 74.1719673
10 76.75477065
11 79.07929359
12 81.17136423
13 83.05422781
14 84.74880503
15 86.27392453
16 87.64653207
17 88.88187887
18 89.99369098
19 90.99432188
20 91.89488969

グラフにすると以下のようになる。縦軸は割合(％)、横軸は10のn乗を表す。

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