第57回　砂山のパラドックス解決

砂山のパラドックス(別名 ハゲのパラドックス)の決定的解決方法が見つかった。

砂山のパラドックスとは、

「砂山は膨大な数の砂粒からできている」（前提1）
「砂山から一粒の砂を取り除いても、それは依然として砂山のままである」（前提2）
ならば、砂山から全ての砂を取り除いても砂山といえるだろうか？

一方、ハゲのパラドックスは、

「髪の毛が一本もない人はハゲである」（前提1）
「ハゲの人に髪の毛を一本足してもハゲである」（前提2）

ここで前提1 に前提2 を繰り返し適用していく（つまりツルッパゲの人に髪の毛を一本ずつ足していく）。そして次の結論を得る。

「よって全ての人はハゲである」（結論）

数学的帰納法の正しい用法は次の通りだ。

  1. P(0) は真である。
  2. 任意の自然数 k に対し，P(k) が真であれば，P(k+1) も真である。

数学的帰納法の正しい用法と、先に述べた「砂山のパラドックス」や「ハゲのパラドックス」と見比べてみよう。

砂山のパラドックスもハゲのパラドックスも、「P(0) は真である」ということは示されているものの、「P(k) が真であれば，P(k+1) も真である」が示されていない。
具体的に言うと、「砂粒が残りk粒のとき砂山であると仮定すると、残りがk+1粒の時も砂山である」と言いことを示さなければ証明にならない。
(厳密に言えば、「どこか一点にハゲ、またはハゲでないの境界(髪の毛の本数がk本)が存在する」とする必要があるが、具体的な数字を指定する必要はない。kはどんな数字であってもよい。)

また、ハゲのパラドックスにおいても、「髪の毛が0本ならばハゲである」は示されているが、「髪の毛がk本のときハゲであると仮定すると、髪の毛がk+1本の時もハゲである」ということを示さなければ証明にならない。

これは「『砂山』『ハゲ』の定義がはっきりしない」以前の問題である。
この手のパラドックスの原因は、数学的帰納法が正しく運用できていないことにあったのである。

戻る