第68回 四平方の定理
三平方の定理の立体版、「四平方の定理」なるものが存在する。
| 四平方の定理 角Oが全て直角の直角四面体OABCにおいて、面積について S12 + S22 + S32 = S42 が成り立つ。 |
上で言っていることは、
(△OABの面積)2 + (△OBCの面積)2 + (△OCAの面積)2 = (△ABCの面積)2
が成り立つということ。
この定理を利用すれば△ABCの面積が求めやすくなる。
[ (△OABの面積)2 + (△OBCの面積)2 + (△OCAの面積)2 = (△ABCの面積)2 の証明 ]
O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)とすると
| △OAB = | 1 | ab | △OBC = | 1 | bc | △OCA = | 1 | ca | ||||
| 2 | , | 2 | , | 2 | なので、 |
| (左辺) = | 1 | a2b2 | + | 1 | b2c2 | + | 1 | c2a2 | = | 1 | ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) | |||
| 4 | 4 | 4 | 4 |
一方、
| ―→ | = (a,0,-c) | ―→ | = (0,b,-c) | ―→ | ・ | ―→ | = c2 | |||
| CA | , | CB | , | CA | CB |
これを利用して △ABCの面積を求めると
| 1 | sqrt( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) | |
| 2 |
よって、これを2乗すると
| (右辺) = | 1 | ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) | = (左辺) |
| 4 |
これによって証明ができた。
なお、直角五胞体においても、五平方の定理が成り立つが、証明は略す。
| 五平方の定理 角Oが全て直角の直角五胞体O-ABCDにおいて、体積について V12 + V22 + V32 + V42 = V52 が成り立つ。 |
つまり、
(OABCの体積)2 + (OABDの体積)2 + (OACDの体積)2 + (OBCDの体積)2 = (ABCDの体積)2
が成り立つ。