第96回　八犬伝の八珠の速度

これまで数学ネタでは、何度も里見八犬伝を検証してきたが、ここに来てまた大きな疑問がわいてきた。

里見八犬伝の冒頭で、「八珠」は、安房から関東一円に散ったのだ。最も遠いものは、庚申山まで飛んだ。
千葉県南房総市の滝田城址から群馬県日光市の庚申山までは、直線距離で184.90kmある。
八珠は、直径にしておよそ4cmほど。こんな小さな珠が、およそ185kmも飛ぶとは、いかなる事態なのだろうか。

まず記号で式を変形し、その後で数値を代入する方式で計算してみよう。

放物運動では、物体が45°で飛んだときに、最小限のエネルギーで最大限の距離まで飛ぶことができる。
ここでは、珠は45°で飛んでいったものと仮定する。
また、空気抵抗や、重力の逓減は無視する。滝田城址と庚申山の標高差も、飛距離に比べれば小さいので無視する。

すると、弾の軌道は、滝田城址と庚申山を通る放物線になる。
珠が飛んだ距離を D とし、滝田城址を原点とすれば、放物線の式は
y = -ax(x - D)
と書ける。飛び出しの角度は45°なので、この放物線の(0,0)における傾きは 1 となる。
微分係数 y ' = -2ax + Da に、この条件を代入すると、a = D^-1 となる。
この条件を放物線の式に代入し、平方完成すると、この放物線は x=D/2 で、最大値 D/4をとる。
ゆえに、珠は上空 D/4 まで上昇したことが分かる。

滞空時間を t 、重力加速度を g とすると、等加速度運動の公式より、
D/4 = (1/2)gt²
よって、落下時間は √(D/2g) 滞空時間はその2倍で 2√(D/2g)

従って、水平方向の速度は、距離を時間で割って、√(Dg/2)
地面から飛んでいったときの角度は45°なので、落下寸前も地面となす角は45°である。
ゆえに、鉛直方向の速度も √(Dg/2)

三平方の定理より、落下寸前の速度は、√(Dg)

このように、速度は距離と重力加速度だけで決まってしまうことが分かった。

これに数値(距離 184.90km = 1.8490×10⁵m、重力加速度 9.80665 m/s² を代入すると、
速度は 1346.57 m/s !! これはマッハ4に相当する。

珠の半径を r 、珠の材質の密度を d とすると、珠の質量は、(4/3)πr³d
珠の直径を4cm、材質を水晶(密度2650kg/m³)とすると、質量は0.08880 kg。

すると、運動エネルギーは 8.0510 × 10⁴ J
これは、銃弾200発分のエネルギーだ。
八犬士たちは、全員この珠が体に激突しているのだ。並の体ではあるまい。普通の人なら貫通してしまう。
敵軍を何の障害もなく倒せたのも、こんな体力があったからだ。
生まれる時代が現代だったら、オリンピックの表彰台を独占していただろう。

八珠を関東一円に弾を散らばらせるためには、この8倍のエネルギーがつぎ込まれたと考えられるが、
そのエネルギー 3.22×10⁵ Jは、77kcalに相当する。
しかし、これは砂糖19gのエネルギーと同じくらいである。伏姫がその程度のエネルギーを出すのは、容易なことだろう。

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