第105回 三つ編みと位相幾何学
三つ編みの編み方は覚えてしまえば簡単だが、人に伝えるのは容易ではない。
そのため、以下のような図が役立つのではないだろうか。
配線図のように表示しているので、交差の向きが明示される。
色の順番は、6度目の操作で元に戻る。(下の表)
| 赤 | 緑 | 青 |
| 操作1 | ||
| 緑 | 赤 | 青 |
| 操作2 | ||
| 緑 | 青 | 赤 |
| 操作3 | ||
| 青 | 緑 | 赤 |
| 操作4 | ||
| 青 | 赤 | 緑 |
| 操作5 | ||
| 赤 | 青 | 緑 |
| 操作6 | ||
| 赤 | 緑 | 青 |
また、上図と表を見ると、以下のような法則性が見られる。
四つ編みの場合は、下のような図になる。
色の順番は、8度目の操作で元に戻る。また、以下のような法則性が見られる。
五つ編みの場合、下のような図になる。
色の順番は、10度目の操作で元に戻る。また、以下のような法則性が見られる。
以上から帰納的に、「nつ編みなら、2n回の操作で元に戻る」と予想できる。
そのことを数学的帰納法で示してみよう。
[証明]
(i)p=3のとき、上記より成立。
(ii)p=nのとき、
と仮定する。
p=n+1のとき、上記よりも糸の数が1本増えるので、
赤の糸が左端から右端到着まで、右端から左端到着までに交差する糸は1本ずつ増える。
よって、赤の糸は2n+1回で元の位置に戻った。
他の色も同様に考えることができるので、
p=n+1のとき、2n+1回で元に戻る。
よって、(i)(ii)より、
「nつ編みなら、2n回の操作で元に戻る」
が示せた。