第114回　富士山の稜線を指数関数で近似する

富士山の稜線は指数関数になっていることが知られている。
このことを利用して、富士山のような円錐形の山の稜線(標高断面図)を指数関数で描いてみよう。

火口の中心真下の標高が0の地点を原点 (x,y,z)=(0,0,0) とする。

山頂の高さを H 、火口の半径を R とすると、地点 (x, y) における標高 z は、α,β を正の定数として、

z = H (|x|＜R)

z = αe^-β|x| (|x|＞R)

(↑計算しやすいようにするために、火口の部分(|x|＜R)が平坦だと仮定している)

曲線の曲がり具合を決めるために、もう一つ条件を定める必要がある。
これは、火口中心から r の地点での高さを h とすることにより定める。

図1　富士山の曲線

この曲線は左右対称なので、右側(x＞0の部分)のみを考える。
また、区間 0≦x＜R で定数であるから、区間 R＜x のみを考える。

(x, z) = (R, H), (r, h) の2点を通るので、

H = αe^-βR および h = αe^-βr が成り立つ。(∵R および r は正)

この連立方程式を、αとβについてとくと、

これにより、曲線は H, R, r, h の4つの定数が定まれば決定できることが分かった。

実際の富士山の場合、H = 3775.6 [m] , R = 350 [m] である。

火口中心から r の地点での高さを h については、以下のようにおおよそ火口からの距離が10000mである6地点の標高の平均を用いることにする。

この先では、(r, h) = (10000, 1000)とする。これにより右半分のグラフを描くと、

となる。
普段我々が思い描いている富士山の稜線のイメージよりも、かなりなだらかだと感じるのではないだろうか。

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