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第5回　0の0乗は何になるのか

意外に難しい素朴な疑問、｢0⁰は何になるのか?｣。

a⁰ = 1だから、0⁰=1 という人もいるし、0ⁿ = 0 だから0⁰=0 だという人もいます。

しかし、｢0ⁿ = 0｣という式は、少なくともnが負の数の時は成り立ちません。
なぜなら、0^-1は、1÷0だからです。(｢0^-1は無限になる｣という人もいるでしょう)
｢0ⁿ = 0｣という式が、n=0の時に成り立つかが問題です。

�@まず、関数のグラフ y = x^x を表してみたら…

x=0のとき、1になっているみたいです。しかし、(-1)^-1のあたりから線が消失しています。

�Aかけ算を使った方法

2² = 1×2×2 = 4
2¹ = 1×2 = 2
2⁰ = 1 = 1
2^-1 = 1/2 =0.5

同様に

0² = 1×0×0 = 0
0¹ = 1×0 = 0
0⁰ = 1 = 1
0^-1 = 1/0 = 無限?

つまり、

2² = 1に2を2回かける ⇒ 4
2¹ = 1に2を1回かける ⇒ 2
2⁰ = 1に2を0回かける ⇒ 1
2^-1 = 1に2を-1回かける ⇒ 1に2の逆数を1回かける ⇒ 0.5

同様に

0² = 1に0を2回かける ⇒ 0
0¹ = 1に0を1回かける ⇒ 0
0⁰ = 1に0を0回かける ⇒ 1
0^-1 = 1に0を-1回かける ⇒ 1に0の逆数を1回かける ⇒ 不能(or無限)

�B二項定理を使う方法(テイラー展開)

上に示したのは、あの有名なパスカルの三角形(nは乗数)。　これを使うと…

(x-y)² = x² - 2xy + y²
(x-y) = x - y

x=yのとき、上の式の右辺は0になる。しかし、n=0なら、

(x-y)⁰ = 1

右に代入できないので、x = yであっても0⁰は1になってしまう。[というか、1でないと矛盾する]

�C代入法

(0⁰ + 1)²＝(0⁰)² + 2×0⁰ +1
　　　　　　　＝０⁰ + 2×0⁰ +1
　　　　　　　＝3×0⁰ +1
ここで、0⁰ = A　とおくと
(A + 1)²＝3A + 1
A² - A = 0
A (A - 1) = 0
A = 0,1
0⁰ = 0,1

という式が考えられます。

�D指数関数のグラフを考える

y = 0^x のグラフ。一見すると、0⁰=0 に見えるが、実は0の寸前でグラフの線がストップしている。
しかし、y=0^x のグラフを描画しようとするとエラーが起きていて、横線しか表示されないのです。

一方、y = 1^xのグラフ(桃色)　と　y=0.1^xのグラフ(青線)
どちらもx=0のときy=0

y=0.01^xのグラフ(水色)。これも同様。

y=n^xのグラフのnの値を限りなく小さくしていくと、次第に左側が急になり、
n=0になったときにL字型のグラフになると考えられます。
nの値をさらに小さくすると(緑色)、ほぼL字型に近づいてきた。

本来、y=0^xのグラフはこうなるはずです。
よって、この方法では、
0⁰は全ての正の数(実数に限る)が得られます。

�E最後に、z=|x^y|の曲面を使って考えてみましょう

グラフが回っていますが、x=0,y=0の平面の交点の直線付近は勾配が急激に変化しています。
グラフを見ると、どの方向から近づこうとしていたかよく分かります。

まとめ

�@まず、関数のグラフ y = x^x を表すと、x^xのxを1から限りなく0に近づける ⇒ 1
�Aかけ算を使った方法 ⇒ 1
�Bテイラー展開 ⇒ 1
�C代入法 ⇒ 1または0
�D指数関数y = n^x の n を1から限りなく0に近づける ⇒ 全ての正の実数
�Eも�Dと同様。

こうすると、0⁰=1と定義した方が都合がいいようです。

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