第十五回 トリックと背理法
最近の映画、｢TRICK劇場版｣、2007年11月11日にTVで放送された。
あの"神003「確率を支配する神」"のトランプマジックは、数学的に成り立つことが証明できる。
マジックの内容は、
| 赤、黒のトランプがそれぞれ同数ある。 これを同数に分ける。 この二つから無作為に2枚取り出す試行を繰り返す。このとき、 [1] その2枚が同じ色なら机に赤、黒を別に並べる。 [2] その2枚が異なる色なら捨てる。 このとき、机に並べた赤と黒の枚数が等しくなる。 |
当たり前です。こんなので騙されてはいけません。
※赤のトランプをR枚、黒のトランプをB枚、
捨てられた赤のカードをR'、黒をB'枚とする。
机に並ぶカードはR-R'、B-B'と表される。
| 演繹法による証明 それぞれのトランプの枚数は等しいから、 R=B ここで、捨てられたカードの赤、黒の枚数は等しいから、 R'=B' ∴R-R'=B-B' 従って、机上の赤と黒のトランプの枚数は等しくなる。 |
もう一つ
| 背理法による証明 机上に並べたカードの枚数が異なると仮定する。 それぞれのトランプの枚数は等しいから、 R=B 仮定より、 R-R'≠B-B' …① ここで、捨てられたカードの赤、黒の枚数は等しいから、 R'=B' …② 式は①、②は矛盾している。 この矛盾は、机上に並べたカードの枚数が異なると仮定したから生じた。 ∴机上の赤と黒のトランプの枚数は等しくなる。 |
演繹法でやる方が早いです。
結論 ： 確率を支配するも何もない。起こる可能性は100％
上をまとめて拡張定理化すると
| 神003の定理 a,b 2種類のカードがいくつかあり、これを同数に分ける。(ただし a+b=2k とする) この二つから無作為に2枚取り出す試行を繰り返す。このとき、 [1] その2枚が同じ文字ならa,b を別に並べる。 [2] その2枚が異なる文字なら捨てる。 並べたa,b の数を a',b' とすると a ＞b ⇔ a' ＞b' a ＝b ⇔ a' ＝b' a ＜b ⇔ a' ＜b' |
※考察 - 神003の定理の証明 [逆も成り立つことの証明]
ちなみに
| 全ての手品に必ずタネがあることの証明 タネがない手品があると仮定する。 これは、科学の法則に矛盾する。 この矛盾は、間違った仮定により生じたものであるから、 全ての手品には必ずタネがある。 |
Q.E.D.