第34回 四次元多胞体と規則性
多胞体とは4次元の図形であるが、それと他の次元の図形の規則性について考える。
一般に正○○体(形)といわれるものを表にしてみた。(表1)
| 次元 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 図形名 | 点 | 線分 | 正方形 | 立方体 (正六面体) |
正八胞体 | |
| 頂点 | 2 | 4 | 8 | 16 | ||
| 辺 | 4 | 12 | 32 | |||
| 面 | 6 | 24 | ||||
| 胞 | 8 | |||||
胞=立方体
ここで、次元と方向について考える。(表2)
| 次元(軸数) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 方向 (軸数×2) |
0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 間の方向 (45°刻み) |
0 | 2 | 8 | 26 | 80 |
間の方向について詳しく言うと、
1次元では左右の2方向
2次元では
| 左前 | 前 | 右前 | ||
| ↑ | ||||
| 左 | ← | → | 右 | |
| ↓ | ||||
| 左後 | 後 | 右後 |
の8方向。前後左右については東西南北で置き換えても良い。
3次元では、26になるのだが、
これは、図形の構成部分(表1)の総和に等しい。
つまり2次元では4+4=8,3次元では8+12+6=26になる。
この規則に従うと、四次元での45°刻みの方向は、16+32+24+8=80になる。
この数列 0,2,8,26,80… は、それぞれ 2,6,18,54ずつ増えている。
これは等比数列になっており、左の数を順次3倍していくと得られる。