第35回　次元数列

四次元多胞体、五次元多胞体と、次元を増やしていくと、超立体を構成する部分の数はいくらになるのだろうか?

それを数列として並べてみた。

次元 方向数 頂点数 辺数 面数 胞数
n 3n 3n-1 2 n
(1列目)		 2列目 3列目 4列目 5列目 6列目 7列目 8列目 9列目 10列目 11列目
0 1 0 1
1 3 2 2 1
2 9 8 4 4 1
3 27 26 8 12 6 1
4 81 80 16 32 24 8 1
5 243 242 32 80 80 40 10 1
6 729 728 64 192 240 160 60 12 1
7 2187 2186 128 448 672 560 280 84 14 1
8 6561 6560 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 19683 19682 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 59049 59048 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3562 960 180 20 1

方向数とは、前回触れた45度刻みの方向のことである。

これには、いくつか規則性がある。
まず、緑色の網掛けの部分には偶数が並ぶ。

そして、下の表を見ても分かるように、

右下へは1倍,2倍,3倍…　や、1倍,4/3倍,5/3倍,2倍… など、規則的になる。

実はこの数列はパスカルの三角形を発展させたものだ。
発見した当初は世紀の大発見かと思いきや、ただ (2a+b)n の係数を並べただけで、ややこしくなったように見えるだけである。