第59回　インチキ証明の反証

アンサイクロペディアには、「1=2」という項目があり、この中では非常に「もっともらしい証明」がたくさんある。こういう証明に対する反証を考えてみよう。

単純な理系ジョークに用いられる証明を、まず反証してみよう。

女は時間と金がかかる（girls require time and money）ので

Girl = Time × Money ・・・(1)

時は金なり(Time is Money)という諺によると

Time = Money ・・・(2)

(2)を(1)に代入すると

Girl = Money × Money

ここで、金は諸悪の根源(money is the root of all evil)だから

Money = √(Evil)

したがって

Girl = √(Evil) × √(Evil) = Evil

女＝悪　（証明終

いかにもジョークだという感じだが、これはイコールの用法が間違っている。(詳しくはイコールの正しい用法を参照)
「反例：男であっても「悪」である場合がある」というこんな短い文で反証終わり。
※イコールが成り立つためには、逆も成り立たなければいけない。(A=Bが成り立つためには、B=Aも成り立つ必要がある) また同値であることも必要条件。

(注)同値でないとイコールは成り立たないが、同値であっても必ず成り立つとは限らない。

命題が真ならば命題の対偶は真、とは限りません。
なぜなら、
命題「お腹がすいたら食事をとる」
は真ですが、
命題の対偶「食事をとらなければ、お腹はすかない」
は偽だからです。

きちんと対偶が取れていない。命題「お腹がすいたら食事をとる」の対偶は、「(いま)食事を取っていないならば、(先ほど)おなかはすいていなかった」である。

「お腹がすいたら食事をとる」という命題は、時間の前後関係を含んでいる。
「A(先に起こる事象) ならば B(後の事象)」型の命題の対偶は、「Bが起こっていなければ、Aは起こっていなかった」

アンサイクロペディアの「1=2」の反証

非常に「もっともらしい証明」がたくさんあるが、代表的なものの反証を考えよう。

「かけ算を使った方法」

1 - 3 = 4 - 6
両辺に 9/4 を加える
1 - 3 + 9/4 = 4 - 6 + 9/4
式を変形すると
(1 - 3 / 2)2 = (2 - 3 / 2)2
2乗をとって
1 - 3/2 = 2 - 3/2
両辺から- 3/2 をとると
1 = 2

正しそうに見えるが、2乗を勝手に外してはいけない。a2=b2が成り立っても、a=bは成り立つとは限らない。

「最大値を使った証明」

  • すべての整数の中で最大のものを A とおく。
  • 一般に、A+1≧A
  • A は最大の整数だから、A≧A+1
  • ゆえに、A=A+1
  • 両辺から A を引くと、0=1
  • 両辺に1を足すと、1=2

最大の数があるという仮定が間違い。

「諺を利用した証明」

「五十歩百歩」より
50歩=100歩
両辺を50歩で割ると
1=2

イコールの使い方の間違い。レベルが同じだけでは、イコールとはいえない。

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