第65回　栗まんじゅう問題

栗まんじゅう問題考察の詳細論文はこちら PDF　 2009/09/13更新

(注)このページでは簡便な説明のみを行い、数式などは一部で省略しています。詳細な情報は上の考察論文に記しています。
詳しい説明をお求めの方は上の考察論文をお読みください。
数式や詳細な理論は嫌だという人は、このページをお読みください。

ドラえもん史上最も有名な「栗まんじゅう問題」。
のび太が、1個しかない栗まんじゅうを食べるか食べないかで悩んでいたとき、ドラえもんがバイバインという道具を出した。

このバイバインに関して、2つの疑問がある

1つ目は、「『バイバイン』という名称が日本語なのか英語なのか?」である。

日本語の「倍々」から来ているという考え方と、英語の「bi」と「bin」を合わせてつくった造語の「bibin」だという考えもある。
「bi」は「2倍」の意味の接頭語。「bin」は「2進法」の意味。
(「bi」がついた「2倍」の意味を含む単語には、「bicameral」(二院制)、「bicycle」(自転車)、「bigamy」(重婚)などがある)

2つ目は、「増え続ける栗まんじゅうがどうなるのか?」である。

バイバインは液体状の薬品で、1滴振り掛けると、その物体の個数が5分ごとに2ⁿ個に増える。
作中では、のび太は栗まんじゅうを増やそうとしたが、増えすぎて食べられなくなってしまった。

5分ごとに2倍に増えるので、30分で64個、1時間で4096個、2時間で16777216 個になる。

さて、栗まんじゅうの行く末はどうなるのか。宇宙が埋まってしまうことを心配した人も多いのではないだろうか?
計算してみよう。
栗まんじゅう球の半径(栗まんじゅうの集まりを球とみなす)が2倍になるためにかかる時間は、体積が8倍になる時間に等しい。8 = 2³ より、栗まんじゅう球は15分ごとに半径が2倍になる。

栗まんじゅうの総数は、

• 1時間後 … 4096個
• 2時間後 … 16777216個
• 3時間後 … 68719476736個 (687億)
• 4時間後 … 281兆　　速度は18km/h (自転車並み)
• 5時間後 … 115垓　　速度は295km/h (新幹線より速い)

そのままのペースで分裂を続ければ、分裂速度は9時間後に光速(30万m/s)を越える。
この宇宙においては、どんな物体も光速を越えて進むことはできない。
そのため、分裂速度は8時間後以降、光速に収束していく。

いままで計算したのは相対論の影響を無視した、古典力学的なものであった。
今度は相対論の影響を考慮してみよう。これをグラフにすると以下のようになる。
(このグラフの縦軸は速度[光速を1とした場合]、横軸は時間[単位は時間])

確かに分裂速度が光速に収束していくことが分かった。

分裂を続けた栗まんじゅうはどうなるのだろうか。

ドラえもんはロケットで栗まんじゅうを宇宙投棄した。
ロケットの速度が速くなると、相対性理論によりロケット内の時間の進み方が遅くなる。
理論上は光速で動くロケットの内部では時間の経過は0になる。
ドラえもんの持っていたロケットがそれくらい優秀ならば、地球から見れば栗まんじゅうの増殖は止まったことになる。
その意味では、栗まんじゅうを宇宙に投棄したことは正しい選択だったに違いない。

栗まんじゅうが宇宙で増殖を始めた場合

もし、ドラえもんのロケットの性能が悪かったらどうだろうか?

8時間後に栗まんじゅうの増殖速度は倍々増殖から、光速度への収束に変化していくことが確かめられた。
だから、有限時間内に宇宙全域が栗まんじゅうで覆い尽くされるということは起こらないと予想される。

その後は、体積は冪関数的な増加に転じるが、質量は依然として指数関数的な増加のままである。
そのため栗まんじゅう球が大きくなりすぎると、密度が極端に増加して中心部から順に自重で崩壊していく。
このスピードが速ければ中心部にブラックホールが形成され、その周囲の栗まんじゅうも順次吸い込まれていく。

しかし、実際にはブラックホールができるよりも先に、栗まんじゅうが自重でつぶれてしまうことが予測されている。
これは、本物の栗まんじゅうをいくつか実際につぶしてみて、何Paの力でつぶれるかを測定することで調べられる。

この実験は未実行であるが、近い将来、筆者はこの実験を行うことを予定している。

参考:膨張速度など

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